B1(0;b), B2(0;-b) – вершини гіперболи.

Побудова гіперболи

Будуємо основний прямокутник зі сторонами 2а і 2b ; проводимо прямі,що збігаються з діагоналями цього прямокутника , тобто проводимо асимптоти ; потім креслимо гіперболу.

Ексцентриситет гіперболи

Означення: Ексцентриситетом гіперболи називається відношення відстані між фокусами до довжини дійсної осі.

Ексцентриситет гіперболи позначається буквою ε:

ε або ε .

Оскільки, за означенням 2а < 2с, то ексцентриситет гіперболи ε завжди є неправильним дробом, тобто ε .

Асимптоти гіперболи

Рівняння асимптот гіперболи :

.

Рівностороння гіпербола

Означення: Гіпербола називається рівносторонньою, якщо довжина її дійсної осі дорівнює довжині уявної осі, тобто 2а = 2b

Канонічне рівняння рівносторонньої гіперболи , фокуси якої лежать на осі ОХ.


або


Канонічне рівняння рівносторонньої гіперболи , фокуси якої лежать на осі ОY .


або


Для рівносторонньої гіперболи справедливе співвідношення:

,тобто .

Ексцентриситет рівносторонньої гіперболи

ε , тобто ε

Асимптоти рівносторонньої гіперболи

Рівняння асимптот для рівносторонньої гіперболи має вигляд


, тобто


асимптоти рівносторонньої гіперболи є бісектрисами координатних кутів.

П р и к л а д и р о з в ’я з у в а н н я з а д а ч

Приклад 1. З'ясувати, яку лінію визначає рівняння .

Розв΄язання:

Поділивши обидві частини рівняння на 63, дістанемо

Порівнюючи дане рівняння з канонічним рівнянням гіперболи, зробимо висновок, що рівняння визначає гіперболу з дійсною піввіссю а = 3 та уявною піввіссю b= .

Приклад 2. Дано асимптоти гіперболи у = ± t wx:val="Cambria Math"/>2"> х і відстань між фокусами 2с = 10.

Записати рівняння гіперболи.

Розв΄язання:

Із рівнянь асимптот гіперболи випливає, що , звідки а = 2b .

Користуючися рівністю , дістаємо , звідки .



Тоді .

Запишемо шукане рівняння гіперболи:

.

Відповідь:

Приклад 3. Дано гіперболу Визначити довжину її осей і відстань між

фокусами .

Розв΄язання:

З канонічного рівняння гіперболи маємо: , або а = 4; , або b= 3.

За cпіввідношенням міжа, b і c: знаходимос:

, звідки с= 5, а тому відстань між фокусами 2с= 10.

Відповідь: а = 4 , b= 3, 2с= 10.

Приклад 4. Знайти координати фокусів, довжини осей і ексцентриситет і рівняння асимптот гіперболи , заданої рівнянням .

Розв΄язання:

Зведемо рівняння гіперболи до канонічного рівняння, поділивши обидві частини рівності на 400:

,

.

З цього рівняння ми бачимо, що фокуси гіперболи розташовані на осі абсцис (ОХ), запишемо , , тобто а = 5 , b= 4.

За cпіввідношенням між а, b і c: знаходимос:

, звідки с= .

Отже, фокусами гіперболи будуть точки F1(- ;0), F2( ;0);

дійсна вісь гіперболи 2а = 10; уявна вісь 2b= 8.

Знайдемо ексцентриситет гіперболи: ε

ε .

Рівняння асимптот гіперболи : ,

.

Відповідь: фокуси гіперболи - F1(- ;0), F2( ;0);

дійсна вісь 2а = 10; уявна вісь 2b= 8; ексцентриситет гіперболи - ε ; рівняння асимптот - .

! Приклад 5. Скласти канонічне рівняння гіперболи з фокусами на осі ОХ, якщо відстань між ними дорівнює , а рівняння асимптот .

Розв΄язання:

Оскільки, F1 F2 = 2с = , то с=

За cпіввідношенням між а, b і c: знаходимо :

.

За умовою, . Підставивши значення с= в складемо систему рівнянь:

Підставимо значення у рівняння , одержимо:


Звідси одержимо

Підставимо значення у канонічне рівняннягіперболи:

.

Відповідь: канонічне рівняння гіперболи - .

Приклад 6. Знайти вершини, фокуси, ексцентриситет і асимптоти гіперболи

Розв΄язання:

Зведемо рівняння даної гіперболи до канонічного вигляду ( помноживши ліву і праву частини рівності на (-1)):

, .

Це є канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі ОY. Із рівняння маємо,що

, s w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/>2=36"> , тобто b = 8, a= 6. Тоді вершини гіперболи знаходяться в точках B1(0;8) і B2(0;-8).



Заcпіввідношенням міжа, b і c:

знайдемо с: , звідси с = 10.

Отже, фокусами гіперболи є точки: F1(0;10 ), F2(0 ;- 10).

Ексцентриситет гіперболи обчислимо за формулою ε ,

ε .

асимптоти гіперболизнаходимо за формулою ,

x.

Відповідь: вершини гіперболи - B1(0;8) і B2(0;-8);

фокуси - F1(0;10 ), F2(0 ;- 10);

ексцентриситет ε ;

асимптоти .


4783603724905971.html
4783640649557769.html
    PR.RU™